➗ Matematika yang Kita Pelajari Ternyata Cacat

Dari kecil, hidup kita ga lepas dari matematika. ➕➖✖➗ Saat ada satu cokelat di meja, kita tahu kalo jumlah itu bisa diwakilin pake angka yang simbolnya entah kenapa lurus begini: 1

Awal-awal masuk sekolah, kita belajar soal pertambahan dan pengurangan. 📖 Satu cokelat ditambah satu cokelat jadi ada dua cokelat. 🍫🍫 Terus, mulai masuk ke pelajaran perkalian dan pembagian. Kalo ada lima anak dan setiap anak mau satu cokelat, kita butuh lima cokelat.

Tapi lama-lama, matematika makin rumit dan makin rumit, sampe suka nyuruh kita nyari si X yang hilang entah ke mana.  😵 Buat beberapa orang, matematika itu bahkan kayak mimpi buruk. Pangkat?! Logaritma?! Aljabar?! Integral?!?!?!

Nah, udah serumit itu semua, sekarang bayangin kalo matematika yang udah kita pelajarin susah-susah selama ini ternyata… rusak!

Kenapa begitu?

Matematika Adalah Bahasa

Oke, sebelum kita bisa tahu kenapa matematika itu “rusak", kita mesti pahamin dulu kalo matematika itu sebenernya kayak bahasa—dipake buat deskripsiin atau ngegambarin sesuatu. Hal-hal di dunia itu bisa digambarin pake angka:

🧍‍♀️ pertambahan tinggi kalian dan teman-teman kalian,

⛅ perkiraan cuaca,

📈 ekonomi dunia,

👁 perilaku partikel,

🌍 lintasan planet…

🔥 sampe perkiraan kenaikan suhu gara-gara krisis iklim.

Ya, angka itu ibarat huruf. 🔤 Terus, operasi bilangan—kayak tambah, kurang, kali, bagi—itu kayak tata bahasa (bayangin S-P-O-K dalam bahasa Indonesia), dan pernyataan matematika itu kayak kalimat. 💬

Kalo dalam bahasa Indonesia, gambar di atas adalah “tiga apel”. 🍎🍎🍎 Kalo dalam bahasa matematika, gambar di atas bisa disimbolin, misal, pake “3x”.

Terus, dalam bahasa Indonesia, gambar di atas adalah...? Ya, bener, “satu apel, satu jeruk, dan satu pir”. Kalo dalam bahasa matematika, gambar di atas bisa disimbolin pake “1x + 1y + 1z”.

Sampe sini, udah kebayang belum kalo matematika itu sebenernya adalah bahasa? Kayak bahasa yang kita gunain buat komunikasi sehari-hari dan buat mahamin dunia. Kalau kita lagi ngebuka mulut dan bersuara “Hahaha!”, kata yang ngegambarinnya adalah “ketawa”. 🤣 Udah keliatan polanya?

Terus, dalam matematika ada juga yang namanya logika, yang ngasih tahu gimana cara ngelakuin pembuktian matematika. 🧠

Misalnya, kayak logika pernyataan “jika-maka”. Pernyataannya bakal berbunyi kayak gini:

“Jika sebuah angka bisa dibagi dua, dia adalah bilangan genap.”

Nah, dalam pernyataan ini, “jika sebuah angka bisa dibagi dua,” adalah kondisi. Kalau kondisinya benar, bagian “maka” — “angka tersebut adalah bilangan genap” — juga benar. ✅

Sama kayak pernyataan ini:

“Jika hujan, tanah jadi basah.” Kalau terjadi hujan, tanah bakalan jadi basah. ☔

Nah, pernyataan-pernyataan kayak gini jugalah yang ibarat jadi “grammar”-nya matematika. Mereka itu ngebantu para ahli matematika buat ngebuktiin suatu pernyataan. Buat nyari tahu pernyataan itu bener atau salah! 👩🏻‍🏫👨🏻‍🏫

Oke, lanjut. Terus, semua pernyataan dalam matematika bisa dibuktiin — kalo nggak, antara pernyataan itu salah, atau buktinya belum ditemuin.

Sama kayak dalam bahasa, kalo nggak ada bukti, berarti kalimatnya ya salah. Kalo kita bilang adik kita lagi ketawa padahal dia lagi nangis, itu artinya kita bohong. 😓

Tapiii kadang, kita bukannya mau bohong, tapi kita mau ngegambarin sesuatu yang emang belum ada katanya. Kayak kalau kita mau ngejelasin suatu mesin yang nggak ada namanya, mungkin kita bakal jadi gelagapan pas ngejelasin. 😫 Karena inilah kata-kata baru muncul.

Matematika itu pernah dianggap “bahasa tertinggi alam semesta”. Soalnya, dia dianggep bisa ngejelasin semua semua peristiwa yang ada di dunia, lengkap sama bukti-buktinya. Inilah yang diyakinin para ahli matematika…

…sampe ada seseorang yang ngebuktiin kalo hal itu salah.

Orang itu bernama Kurt Gödel. 👨🏻‍🏫

Bahasa yang Kurang Lengkap

Om Gödel dateng seperti badai. ⚡ Dia tiba-tiba menggebrak dunia matematika dengan bilang kalo…  🥁 🥁 🥁

“Ada pernyataan matematika yang benar, tetapi nggak bisa dibuktikan.”

Ya, tentunya ini bikin ahli matematika pada kaget. Bayangin aja, kalo ada yang ngomong “Nasi goreng adalah makanan terenak di dunia!”, tapi nggak ada buktinya. 😅 Kaum pencinta makanan bulat abu-abu bisa protes dengan mudah.

Tapi kenapa Om Gödel bisa ngomong kayak gitu?

Oke, ayo sama-sama bayangin kalo Om Gödel ini pengen jadi mata-mata. 🕵🏻‍♂️ Dia pengen bikin kode rahasia dalam matematika. 🔐 Jadi, dia bikin simbol operasi dalam matematika jadi angka. Misalnya:

• + itu angka 1
• = itu angka 2

Daaan seterusnya. Setiap simbol unik dalam matematika punya angkanya tersendiri. ✨

Jadiii, kalo kita punya pernyataan matematika kayak “1 + 1 = 2”, atau “2 > 1”, pernyataan-pernyataan itu bisa disimbolin pake angka yang unik, kayak sidik jari. ☝🏻

Daaan tentunya pernyataannya bisa ga berupa angka. Bisa juga berupa “Bilangan prima adalah angka yang cuma punya dua faktor”. Pernyataan itu juga punya angka spesialnya tersendiri. ⭐

Nah sekarang, bayangin kalo tiba-tiba ada pernyataan kayak gini:

“Pernyataan ini nggak bisa dibuktiin.” ❌

Sekarang, bayangin kalo logika matematika itu adalah suatu mesin, yang kerjanya selalu nyari bukti buat ngecek kebenaran dari suatu pernyataan. ⚙🔧

Terus, mesin ini ketemu sama pernyataan di atas itu.

Apa yang terjadi? Ya… dia bakal bingung. 😵 Soalnya, kalo misalnya mesin itu mau bilang kalo nomor itu salah, artinya pernyataan itu punya bukti. Tapi, mesin itu ngasih bukti buat… pernyataan yang harusnya nggak punya bukti!

Mesin itu ngebuktiin sesuatu yang bilang kalo dia nggak bisa dibuktiin. Makanya, pernyataan itu bener — karena dia harus nggak bisa dibuktiin. 🧐

Atas dasar inilah Om Godel bilang kalau dalam matematika, ada pernyataan yang benar, tapi nggak bisa dibuktiin. 🤓

Paradoksnya kira-kira kayak gini… Pusing gak? 😵

Oke oke, jangan bingung dan jangan khawatir! Biar makin ngerti, ayo jalan-jalan ke dua buah pulau. 🏝🏝 Anggep aja yang satu namanya Eldia, dan yang satu namanya Paradis. Anggap aja, ada beberapa fakta yang kita tahu soal kedua pulau ini:

• Orang Eldia selalu jujur 😄
• Orang Paradis selalu bohong 🤐

Jadi, harusnya gampang buat ngenalin orang Eldia dan Paradis.

Terus, tiba-tiba ada seseorang yang ngaku kalo “Aku bukan orang Paradis!” 🙅🏻‍♀️

Kira-kira, apa kalian tahu dia orang mana? Coba pikirin dulu sebentar…

Mungkin, kalian bingung. Soalnya…

• Kalo dia orang Paradis, berarti dia jujur. Apa berarti dia orang Eldia?! 🥴
• Kalo dia orang Eldia, artinya dia bohong. Loh, harusnya, dia orang Paradis dong?! 🙃

Ya, kayak gitulah inti dari teoremanya Om Gödel. Dia nunjukin kalo selalu ada pernyataan yang nggak bisa dicek sama kita—alias sama logika matematika. Tapi, bukan berarti isi dari pernyataan itu salah. 🤯

Terus, emang kenapa? Ini artinya, logika matematika yang kita punya sekarang nggak bisa ngebuktiin semua pernyataan dalam matematika.

Dengan ini, Gödel ngebuktiin kalo ada batasan dalam matematika. Matematika itu adalah sistem yang nggak utuh. Bahasa yang nggak sempurna!

Kalo matematika ibarat puzzle, dia akan selalu punya bagian yang isinya gak lengkap. 🧩 Inilah nama keren buat pernyataan Gödel: ✨ Teorema Ketidaklengkapan Matematika✨.

Teoremanya Om Gödel bikin dia datang ibarat kuda hitam di tengah para ahli matematika. 🌩 Aslinya, dia itu sebelumnya nggak cukup dikenal. Dia bahkan baru berusia 25 tahun pas nerbitin teoremanya.

Terus, siapa dia sebenarnya? Gimana dia bisa tiba-tiba dateng dan ngeguncang dunia matematika? ➗

Siapakah Kurt Gödel Sebenernya?

Jadi, Kurt Gödel ini aslinya dari 🇦🇹 Austria. Waktu kecil, dia dijulukin der Herr Warum — kalo dalam bahasa Inggris artinya Mr. Why, karena dia selalu nanya “kenapa”. ❓🙋🏻‍♂️

Tahun 1923, Gödel kuliah di Universitas Vienna. Awalnya mau belajar fisika, 🍎 tapi akhirnya dia masuk ke jurusan matematika. ➗

Gödel ngelanjutin pendidikannya sampe dapet gelar doktor. Tahun 1931, ia menerbitkan jurnal yang berisi teoremanya. 🧾 Pernyataan Godel soal kebenaran yang gak bisa dibuktiin tadi bikin para ahli matematika ribut. Soalnya, mereka percaya kalo sesuatu baru bisa dibilang bener ✅ kalo bisa dibuktiin. 👩🏻🏫

Sejarah nunjukin, tahun 1900-an itu tuh ibarat zaman keemasan sains — banyak inovasi yang ditemuin, banyak teori lama yang dibuktikan salah dan diganti pake yang baru. 🥇 Termasuk dalam dunia matematika.

Dulu itu, dua orang matematikawan nulis buku yang berjudul Principia Mathematica. 🧠 Buku ini berusaha buat nunjukin gimana seluruh pernyataan dalam matematika itu bisa dibuktiin dengan runut, langkah demi langkah. 📚🔢 Matematika bener-bener diyakinin sebagai “bahasa alam semesta” yang tanpa cacat. 😯

Tapi, penemuan Godel ngegagalin usaha ini sepenuhnya. Meski awalnya dianggap salah, perlahan orang-orang sadar kalau Gödel justru benar. ⭐ Kemudian, karena Perang Dunia II makin memanas dan Austria (tempat Gödel tinggal) juga kena dampaknya, ia pindah ke 🇺🇸 Amerika Serikat.

Di Amerika, dia bertemu dan bersahabat sama ilmuwan lain bernama Albert Einstein. 🤝💡 Einstein bahkan sampe ngeklaim kalo Gödel, sama kayak dia, berhasin nemuin revolusi konsep ilmiah seorang diri. 😦

Einstein juga bilang kalo dia sering pergi ke kantor cuma biar dapet kesempatan buat pulang bareng Gödel. Sohib banget mereka berdua. 🤝

Dan ya, pas Einstein ulang tahun ke-70, Gödel ngasih kado yang — mungkin — paling keren sepanjang masa. 🎁 Godel ngasih coret-coretan matematikanya. Dia nulisin bukti matematis yang nyatain kalo waktu itu nggak mungkin ada, yang bermula dari teori relativitas Einstein sendiri! 🤯

Seru banget ya? Kalau kalian penasaran, mungkin kita bisa bahas soal ketiadaan waktu ini di lain waktu~

Oke, sampe sini kita udah tahu gimana Godel bisa ngubah pemahaman para matematikawan zaman dulu. 🤔 Tapi, dampaknya gak berhenti sampai situ.

Teknologi Punya Batas!

Jadi ternyata, penemuannya Om Godel ini ngasih batasan buat mesin yang penggunaannya berdasarkan instruksi matematika—algoritma. Contohnya kayak kalkulator, dan… komputer. 🖥💻

Ya, mereka punya batasan buat ngerjain tugas tertentu. Mau secanggih apa pun teknologi kita nanti, komputer yang sepenuhnya serbabisa nggak akan ada. 😨

Kenapa bisa kayak gitu?

Oke, tadi udah disebut kalo mesin komputer yang kita punya sekarang—termasuk komputer kuantum—itu bekerja berdasarkan instruksi matematika.

Nah, instruksi ini tuh biasanya simpel-simpel:

• Maju satu langkah
• Mundur lima langkah
• Kalau hasilnya nggak sesuai, ulang dari awal

Nah, karena instruksi-instruksi simpel inilah kita bisa ngitung pake kalkulator, sampe bisa bikin website. Semakin canggih sesuatu, biasanya instruksinya makin banyak.

Kira-kira, bisakah kita bikin mesin serbabisa? Yang bisa ngelakuin apa aja, asalkan punya instruksi yang tepat. Bisa ngebantuin kita ngerjain tugas, ngejawab pertanyaan kita soal resep rahasia bakso paling enak dunia, bikin gambar, bahkan bikin lagu!

Hal ini ternyata juga dipikirin sama sang penemu komputer itu sendiri—Alan Turing. Jadi, bayangin kalo ada komputer serbabisa yang bisa ngejalanin program apa pun yang diberikan. 🖥 Terus, kalian punya teman jago IT yang kerjanya bikin program untuk komputer ini.

Nah, program yang dibikin sama temen kalian ini punya dua kemungkinan hasil:

• Programnya berhenti berjalan dan ngeluarin hasil 🚫
• Programnya berjalan selamanya tanpa selesai ♻

Tapi bayangin suatu hari, kalian bikin program baru yang tugasnya ngeprediksi program yang dibikin temen kalian: berhenti, atau berjalan terus. Anggap nama program baru ini "Si Peramal". 👀 Dan dia selalu ngasih prediksi yang bener! 100% tingkat kesuksesan! 💯

Terus, karena temen kalian nggak suka ditebak (…dan karena dia jago ngoding), dia bikin program lain. 😋 Dia bikin program baru yang bikin semua prediksi Si Peramal tuh salah. Sebut aja program baru ini namanya Si Kebalik. 🙃

• Kalo Si Peramal bilang dia bakal berhenti, 🚫 Si Kebalik jalan terus selamanya ♻
• Kalo Si Peramal bilang dia jalan selamanya, ♻ Si Kebalik bakal berhenti 🚫

Kalo ada program kayak gini, Si Peramal yang tadinya 100% bener berubah total jadi 100% salah. 😣

Oke, gak cuma sampe di situ. Gimana kalo Si Kebalik diminta buat… meriksa dirinya sendiri?

• Kalo dia ngeprediksi bahwa dia sendiri bakal jalan terus selamanya, dia sendiri harus berhenti.
• Dan sebaliknya, kalo dia ngeprediksi kalo dia harus berhenti, dia harus jalan terus selamanya!

Kesimpulannya? Komputer yang beneran serbabisa itu nggak bisa ada. Soalnya, bakal selalu ada program kayak Si Kebalik yang kontradiktif. 🙃

Kasus ini nama kerennya adalah “The Halting Problem”. Bahasa Indonesianya, “Masalah Pemutusan”. Akan ada batasan untuk apa yang dapat kita prediksi dan hitung, nggak peduli seberapa canggih teknologi kita. 🛑✋🏻

Batasan ini muncul bukan karena teknologi kita yang kurang oke, tapi karena sifat dasar matematika itu sendiri. 😬

Ya, kita nggak akan bisa nyiptain komputer yang serbabisa.

Jadi, teoremanya Om Gödel nggak cuma berpengaruh ke dunia matematika, tetapi juga ngasih batasan buat komputer. Tapi tenang, tentunya batasan ini nggak bikin komputer yang kita punya jadi nggak berguna. 😅

Selain komputer, ada lagi suatu teknologi yang dipengaruhin sama teorema Gödel: Artificial Intelligence.

AI juga bekerja berdasarkan instruksi matematika, makanya dia juga punya batasan. Dengan adanya The Halting Problem, bisa jadi ada batesan AI yang ngebuat dia gabisa sepenuhnya diprediksi. 🤖

Mungkin, kita bisa bikin AI yang aman, tapi apakah ada jaminan AI di seluruh dunia bakal aman? Soalnya, akan selalu ada risiko nggak terduga.

Sama kayak analogi kita tadi. Kita bisa bikin mesin Si Peramal, tapi selalu bisa ada program yang kayak Si Kebalik! AI nggak akan bisa sempurna. Nggak ada jaminan — dan inilah tantangan buat mastiin keamanan AI. 🔒

Halting Problem ini juga jadi salah satu tantangan yang harus dilalui buat bikin Artificial General Intelligence (AGI), yang lebih canggih dari AI kita sekarang. 🪜 Dia punya kepintaran lebih mirip manusia dan bisa ngerjain tugas yang lebih rumit. 🧠

Dan bahkan, adanya Halting Problem juga bikin ilmuwan bernama Roger Penrose percaya kalau pemikiran manusia itu bukan cuma hasil dari algoritma aja—nggak kayak komputer. 🖥  Kesadaran itu bukan cuma produk dari perhitungan. 👁👁

Matematika Ternyata Gak Sempurna (Dan Itu Gapapa)

Jadi, ya, matematika yang dulu sering dianggep sempurna ternyata nggak sempurna juga. Dia punya batasan buat nyari kebenaran tertentu. ⛔

Matematika bukan lagi bahasa yang sempurna, yang bisa mengungkap seluruuuh rahasia alam semesta. Sama layaknya bahasa yang kita gunakan sehari-hari — bisa jadi salah, dan bisa nggak lengkap. 🧩

Bahkan, ketika terus menerus ditambah kata baru, akan selalu ada hal-hal yang nggak tergambarkan. 🖼

Makanya, nggak heran kalau penemuan ini sempet bikin ahli matematika jadi ragu. Mereka ngerasa matematika nggak lagi berguna kalau nggak sempurna. Meski, tentu gak gitu juga.

Dengan ketidaksempurnaannya, matematika masih jadi alat yang sangat berguna buat memaknai alam semesta. 🌌 Dan tentunya, buat bikin dunia jadi tempat tinggal yang lebih nyaman!

Matematika ada di mana-mana: di sistem GPS yang kita pake buat nyari tahu rute terdekat buat pergi ke suatu tempat, 🗺 di satelit yang ngasih kita sinyal buat nonton anime, 🛰 di layar HP atau laptop yang kalian pake buat baca artikel ini, langganan newsletter Kok Bisa, dan gabung Discord Kok Bisa. 👀 Semuanya bisa ada berkat matematika. ➗

Jadi, gimana, masih suka takut sama matematika? Tenang, kalau matematika ibarat orang, pasti dia yang takut sama sosok Kurt Gödel~

Dan seperti biasa, terima kasih!

‍